Теплым весенним утром Джун Ху шел в зал Макдоннелла Пристонского университета, где его ждали студенты. Однако он не был уверен, что идет в нужном направлении. Ху работает в элитарном Институте перспективных исследований, который располагается неподалеку от студгородка Принстона. Будучи сотрудником института, Ху не обязан преподавать. Тем не менее, он вызвался прочитать студентам продвинутый курс по коммутативной алгебре. Когда я спросил Ху, зачем ему это нужно, тот ответил: «Когда ты учишь, то делаешь что-то хорошее. Когда проводишь исследования — большую часть времени ты бесполезен».
Мы добрались до аудитории за несколько минут до начала занятий. Девять студентов рассредоточились по рядам. Один из них спал, положив голову на стол. Ху расположился в переднем углу аудитории и достал несколько помятых листов из рюкзака. Без лишнего шума он нашел место, на котором остановился неделю назад. В течение последующих 80 минут Ху познакомил студентов с доказательством теоремы немецкого математика Давида Гильберта, которое стало одним из важнейших прорывов XX века в области математики.
В немногих университетах студентам-бакалаврам преподается коммутативная алгебра. Но это привычная практика для Принстона, куда ежегодно поступают наиболее перспективные молодые математики мира. Как минимум по этой причине, считает Ху, находившиеся в аудитории в то утро студенты могут считаться необычайно талантливыми. Один из сидящих в первом ряду был единственным человеком, выигравшим пять золотых медалей на Международной математической олимпиаде.
Карьера Ху начиналась с меньшим успехом. Скверный результат контрольной в начальной школе убедил Ху, что он не очень хорошо разбирается в предмете. В подростковом возрасте он мечтал стать поэтом. У Ху не было диплома математика. Когда он подавал заявления в аспирантуру, ему отказали все университеты, кроме одного.
Девять лет спустя, в свои 34 года, Ху оказался на вершине математического мира. Наибольшую известность ему принесло решение давней задачи: совместное с Эриком Кацем и Каримом Адипрасито доказательство гипотезы Роты.
Заслуживает внимания не только само доказательство теоремы, но и то, как ученые пришли к нему. Они нашли способ переосмыслить идеи из одной математической области в другой, к которой те, казалось, не имели никакого отношения. Прошлой весной Институт перспективных исследований предложил Ху долгосрочную стипендию, которую до этого получали лишь три математика. Два из них (Владимир Воеводский и Нго Бао Тяу) были впоследствии удостоены Филдсовской премии — высшей награды в этой области.
Ху заинтересовался математикой в достаточно позднем для этого возрасте. Его успех кажется невероятным, как если бы он впервые взял в руки теннисную ракетку в 18 лет, а в 20 выиграл Уимблдон. Подобное редко происходит в математике. Как правило, для совершения открытия требуются годы специализированной подготовки. Однако было бы ошибкой рассматривать достижения Ху как нечто произошедшее лишь вопреки его нетипичному началу карьеры. Во многих отношениях успех является продолжением его уникальной истории, результатом случайного знакомства в университете с именитым ученым, который каким-то образом разглядел в Ху скрытый талант.
Случайный ученик
Ху родился в 1983 году в Калифорнии, где его родители учились в аспирантуре. Семья вернулась в Сеул, когда мальчику было 2 года. Его отец преподавал статистику, а мать стала одним из первых профессоров русской литературы в Южной Корее с момента начала Холодной войны.
Ху признается, что после неудачной контрольной в начальной школе он стал настороженно относиться к математике. Он не считал, что хорош в ней, поэтому решил рассматривать эту науку как бесплодную погоню за одним логически необходимым утверждением, за которым прячется другое. Будучи тинейджером, он пристрастился к поэзии, найдя в ней истинное творческое выражение: «Я знал, что умен. Но мои оценки говорили об обратном. Поэтому я начал писать стихи».
Ху написал много стихотворений и несколько новелл, в основном о своих подростковых переживаниях. Ничего из этого не было опубликовано. К моменту зачисления в Сеульский национальный университет в 2002 году Ху понял, что не сможет зарабатывать на жизнь поэзией, и решил стать научным журналистом. Он специализировался на астрономии и физике, возможно, неосознанно следуя своим скрытым аналитическим способностям.
В последний год Ху в колледже, когда ему было 24 года, в Сеульский университет в качестве приглашенного преподавателя прибыл известный японский математик Хэйсукэ Хиронака. Профессору в то время было немногим за 70, в Японии и Южной Корее он считался настоящей знаменитостью. В 1970 году Хиронака получил премию имени Филдса, а после написал книгу мемуаров «Радость обучения» (The Joy of Learning), которая стала популярной среди целого поколения родителей в Японии и Корее. Книгу покупали детям в надежде на то, что из них вырастут великие математики. В Сеульском университете Хиронака читал курс лекций по алгебраической геометрии, достаточно общему разделу математики. Программа была рассчитана на один год. Ху стал посещать лекции Хиронаки, надеясь, что профессор станет первым героем его журналистской работы.
Изначально вместе с Ху на курс записались более 100 студентов, у большинства из которых математика была профилирующей. Но через несколько недель после начала число слушателей значительно сократилось. Ху предполагает, что другие студенты перестали ходить на занятия Хиронаки, посчитав их слишком сложными. Он же остался, потому что не ждал того, на что надеялись математики.
«Они отказались от курса, потому что мало что понимали. Конечно, я тоже ничего не понимал, но у студентов-нематематиков обычно другой подход, — отметил Ху. — Мне были понятны некоторые простые примеры, которые Хиронака показывал в классе, и этого было достаточно».
Ху хотел воспользоваться возможностью и после занятий старался пообщаться с профессором. Вскоре они стали вместе обедать. Хиронака вспоминает, каким инициативным студентом был Ху: «Обычно я не отказываюсь от разговора со студентами, но и не ищу общения с ними. Джун стал сам обращаться ко мне».
Во время совместных обедов Ху интересовался жизнью профессора, но разговор постоянно переходил на математику. Ху старался не выдать себя и не показаться невеждой. «Каким-то образом мне удавалось хорошо притворяться, что я понимаю все, о чем он говорит», — рассказывает Ху. Хиронака действительно не замечал отсутствия профильного образования у своего ученика: «Ничего такого не припомню. Он произвел на меня очень неплохое впечатление».
По мере продолжения бесед за обедом отношения преподавателя и студента крепли. Ху окончил Сеульский университет, а Хиронака остался преподавать еще на два года. В это время Ху начал работу над магистерской по математике, в основном под руководством Хиронаки. Почти все время они проводили вместе. Иногда профессор ездил домой в Японию, и Ху сопровождал его в этих поездках. Он носил сумки профессора в аэропорту и даже ночевал в квартире профессора и его жены в Киото.
«Я спросил Джуна, не хочет ли он забронировать номер в гостинице, но оказалось, он не любит отели. Поэтому он остановился у меня», — рассказывает Хиронака.
В Сеуле и Киото профессор и бывший студент продолжали вместе обедать и ходить на долгие прогулки, во время которых известный математик фотографировал цветы. Завязалась дружба. «Мы хорошо относились друг к другу и беседовали не только о математике», — рассказывает Хиронака.
В то же время они продолжали заниматься наукой. Во время обучения профессор старался объяснять на конкретных примерах, доступных для понимания Ху, и не использовать общие теории, сложные для восприятия. В частности, Хиронака рассказывал Ху о нюансах теории сингулярности — области, в которой получил наибольшую известность. Математик на протяжении десятилетий пытался найти доказательство важнейшей задачи — разрешения особенностей по характеристике p. «Это проект всей его жизни, мы говорили в основном о нем, — вспоминает Ху. — Очевидно, он хотел, чтобы я продолжил эту работу».
В 2009 году по настоянию профессора Ху подал документы в несколько учебных заведений США, чтобы учиться в аспирантуре. Ему не доставало квалификации — в колледже на математике он не специализировался, а посетил лишь несколько математических курсов, и его результаты нельзя было назвать выдающимися. Одним из главных аргументов в заявке на поступление была рекомендация от Хиронаки. Большинство приемных комиссий это не впечатлило. Ху отказали почти все учебные заведения, кроме Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне, где он начал обучение осенью 2009 года.
Задачи с графами
В Иллинойсе Ху начал работу, в ходе которой смог доказать гипотезу, сформулированную итальянским математиком Жан-Карло Ротой 56 лет назад. Она касается графов — комбинаторных объектов, которые похожи на фигуры из детского конструктора Tinkertoy. Графы представляют собой «комбинации» точек и линейных отрезков, соединенных друг с другом.
Рассмотрим простой граф — треугольник.
Математиков интересует следующее: сколько существует вариантов раскраски вершин треугольника при наличии нескольких цветов и условия, что вершины, имеющие общее ребро, не могут быть одного цвета. Допустим, количество цветов равно q. В таком случае:
q — первая вершина, потому что в начале вы можете выбрать любой цвет;
q — 1 — смежная вершина, потому что ее цвет должен отличаться от цвета первой вершины;
q — 2 — третья вершина, потому что для нее нужно выбрать цвет, отличный от цвета двух других вершин.
Общее число вариантов раскраски можно получить при умножении всех возможных опций. В нашем случае получаем: q x (q — 1) x (q — 2) = q3 — 3q2 + 2q.
Такое уравнение называется хроматическим многочленом этого графа. Оно обладает несколькими интересными свойствами.
Возьмем коэффициенты каждого члена: 1, —3 и 2. Абсолютное значение этой последовательности — 1, 3, 2 — обладает двумя свойствами. Во-первых, она «унимодальна». Это значит, что в последовательности есть только одно максимальное значение. До него значения только возрастают, после — только убывают.
Во-вторых, ее коэффициенты логарифмически вогнуты. Это значит, что любые три числа в этой последовательности должны соответствовать следующему правилу: результат умножения двух чисел, между которыми стоит третье, должен быть меньше, чем квадрат третьего числа. Например, последовательность 1, 3, 5 удовлетворяет этому требованию, так как 1×5 = 5, что меньше 3^2. А последовательность 2, 3, 5 не удовлетворяет, так как 2×5 = 10, что больше 3^2.
Можно представить бесконечное число графов, в которых будет огромное количество вершин и ребер, соединенных между собой различными способами. У каждого из этих графов будет свой хроматический многочлен. А коэффициенты хроматического многочлена всех графов, что изучали математики, были одновременно и унимодальны, и логарифмически вогнуты. Утверждение, что это справедливо для всех случаев и есть гипотеза Рида, доказательством которой занимался Ху.
В каком-то смысле гипотеза Рида противоречит сама себе. Чтобы понять это, нужно разобраться, как можно разделять графы и соединять их обратно. Для этого рассмотрим немного более сложный граф — прямоугольник.
Хроматический многочлен прямоугольника вычислить сложнее, чем хроматический многочлен треугольника. Но каждый граф можно разбить на подграфы, с ними проще работать. Подграфами могут считаться любые графы, которые образуются при удалении из первоначального графа одного или нескольких ребер:
Или путем наложения одной вершины на другую:
Хроматический многочлен прямоугольника равен хроматическому многочлену прямоугольника с удаленным ребром минус хроматический многочлен треугольника. При этом возникает предположение, что способов «раскрасить» прямоугольник без одного ребра больше, чем способов «раскрасить» треугольник: в первом случае две вершины не соединены друг с другом ребром и вариантов для раскраски больше (вы можете, например, раскрасить их в один цвет, что нельзя сделать при наличии соединительного ребра). Но сколько дополнительных вариантов раскраски возникает в таком случае? Столько, сколько возникает при «раскраске» треугольника.
Хроматический многочлен любого графа можно определить через хроматические многочлены подграфов. Их коэффициенты всегда будут логарифмически вогнуты.
Но когда вы складываете две логарифмически вогнутые последовательности или вычитаете одну из другой, в результате получается последовательность, которая не является логарифмически вогнутой. По этой причине можно предположить, что это свойство исчезнет при совмещении хроматических многочленов. Но оно не исчезает. Происходит нечто иное. «Именно поэтому людей так интересует феномен этого свойства», — считает Ху.
В поисках спрятанной структуры
Ху не знал ничего из этого, когда прибыл в Иллинойс. Как правило, аспиранты-первокурсники не занимаются исследованиями, а проводят большую часть времени на лекциях. Но после трех лет учебы у Хиронаки у Ху появились идеи, которые он хотел реализовать.
За первую зиму своего пребывания на Среднем Западе Ху разработал методы применения к графам теории математической сингулярности, которую он с особым вниманием изучал с Хиронакой. При этом Ху обнаружил, что, когда он выделял область с сингулярностью из графа, он мог использовать теорию графов для обоснования свойств всего графа — например, объяснить, почему коэффициенты многочлена, задающего граф, будут создавать логарифмически вогнутую структуру.
Это заинтересовало Ху, и он проштудировал литературу по теории графов, чтобы посмотреть, не описывал ли кто до него логарифмически вогнутые структуры. Как оказалось, подобные кривые все еще оставались загадкой для теоретиков.
«Позже я узнал, что эти структуры представляли собой гипотезу Рида. В каком-то смысле я решил проблему, ничего о ней не подозревая», — рассказывает Ху.
Непроизвольное доказательство теоремы Рида путем объединения теории сингулярности с теорией графов — следствие неопытности Ху. Он изучал науку в основном самостоятельно или во время внеклассных занятий с Хиронакой. Каждый, кто последние пару лет наблюдал за подъемом Ху, полагает, что благодаря отсутствию опыта он не следовал общепринятым математическим методам. «Если представить математику в виде материка, поделенного на страны, то Джуну никто не сказал о существовании границ. Он не был ограничен никакими рамками», — заметил Робберт Дижкграф, директор Института перспективных исследований.
Вскоре после публикации доказательства гипотезы Рида Мичиганский университет пригласил Ху. В начале декабря 2010 года он выступил перед аудиторией тех самых преподавателей, которые годом ранее отказали ему в приеме в аспирантуру. К этому времени его талант стал очевиден для других математиков. На тот момент Джесс Касс был постдокторантом Мичиганского университета. «Один из старших преподавателей незадолго до визита Ху порекомендовал мне послушать его речь: „Через 30 лет ты сможешь рассказать внукам, что слушал Ху еще до того, как он стал знаменитым"», — вспоминает Касс, профессор Университета Южной Каролины.
Выступление было впечатляющим.
«Его лекция была тщательно продумана и предельно ясна. Он затронул все нужные аспекты. Нечасто услышишь от аспиранта столь великолепную речь», — сказал математик Мирча Мустацэ.