Ранее я опубликовал задачу, которую премьер-министр России Михаил Мишустин задал учащимся выпускного класса в самом начале сентября.
Проведите перпендикуляр от (красной) точки окружности к диаметру, не используя измерительные приборы.
Другими словами, имея окружность с отмеченным диаметром и точку на этой окружности, можете ли вы найти способ прочертить из заданной точки линию, которая будет касаться диаметра под прямым углом. (На рисунке выше эта линия помечена зеленым пунктиром.)
Интересной эту задачу делает запрет на использование измерительных приборов. То есть вы не можете пользоваться ни циркулем, ни линейкой с разметкой. Все, что вам доступно, — это линейка без разметки, позволяющая чертить прямые линии.
Кроме того, я дал вам пару подсказок. Во-первых, угол, образуемый двумя прямыми, пересекающимися в точке на окружности и проходящими через противоположные точки отмеченного диаметра, — это прямой угол. Во-вторых, высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. У остроугольных треугольников все три высоты пересекаются в одной точке.
Если почитать комментарии к моей первой статье, создается впечатление, что мало кто воспользовался моей подсказкой касательно высот треугольника.
Решение задачи:
Шаг 1. Постройте две прямые, соединяющие точку на окружности с концами диаметра. Отметьте еще одну точку на окружности и сделайте то же самое. Углы с вершинами в обеих точках на окружности — это прямые углы (смотрите рисунок).
Шаг 2. Продлите прямые проходящие через обе точки на окружности так, чтобы они пересекались. Рассмотрим точку пересечения этих двух прямых как вершину «большого» треугольника, противоположной стороной которого служит диаметр окружности. Две из трех высот этого большого треугольника уже построены: это тонкие синие линии, соединяющие два конца диаметра с двумя точками на окружности. Мы знаем, что высоты остроугольных треугольников пересекаются в одной точке, поэтому, если мы проведем прямую из вершины большого треугольника через точку пересечения двух имеющихся высот, мы получим третью высоту, которая, как нам известно, касается диаметра под прямым углом.
Шаг 3. Теперь, когда мы построили перпендикуляр к диаметру, наша задача заключается в том, чтобы начертить линию, параллельную этому перпендикуляру, которая проходила бы через заданную (красную) точку на окружности. Для этого постройте прямую из точки пересечения этого перпендикуляра с окружностью через красную точку и продлите ее, пока она не пересечется с продленным диаметром.
Шаг 4. Продлите имеющийся перпендикуляр к диаметру так, чтобы он пересекал окружность с противоположной стороны, а затем соедините эту точку пересечения с точкой, полученной на продленном диаметре из Шага 3. Полученная прямая будет пересекать окружность в точке, которая будет зеркальным отражением заданной красной точки. Если соединить эти две точки, мы получим тот перпендикуляр, который мы искали.
Та-да! А на фотографии ниже Михаил Мишустин объясняет решение этой задачи школьникам.
Надеюсь, вы получили большое удовольствие, решая эту задачу.