Материалы ИноСМИ содержат оценки исключительно зарубежных СМИ и не отражают позицию редакции ИноСМИ
В геометрии можно разобраться, обращаясь к самым простым и повседневным вещам, убеждëн математик Джордан Элленберг. В видео на YouTube-канале Wired он объясняет, как понять эту увлекательную науку, на примере тетриса и космических спутников.
Меня зовут Джордан Элленберг, я математик. Сегодня я отвечу на вопросы интернет-пользователей о геометрии и всем, что с ней связано.
Кто придумал геометрию?
Никто не придумывал. Она существовала всегда. Это всего лишь способ нашего взаимодействия с окружающим миром. Человека, который первым систематизировал и сформулировал ее как науку, звали Евклид, а жил он в Северной Африке около двух тысяч лет назад. Мы также знаем, что многое из записанного им было лишь переписью работ других людей. Он собирал информацию и хранил ее в письменном виде. Из разряда интуитивного в разряд книжного она перешла как набор формальных правил, которые мы используем для описания и работы с углами, треугольниками, кругами и прочим.
Новые формы просто берут и обнаруживаются?
Разумеется! Причем постоянно. Одно из главных заблуждений человека касаемо математики заключается в том, что она исчерпала себя как наука. Те, кто занимается геометрией, постоянно воображают всякие безумства, происходящие в высоких измерениях, и сумасшедшие искривлениях, но на деле четырехмерные формы в некотором смысле столь же реальны, как и трехмерные. Просто человеку нужно натренировать свой разум, чтобы уметь воспринимать формы в измерениях вроде гиперкуба, он же тессеракт.
Неужели тессеракт — это нечто реальное?
Определенно, да. Так называют то, что в математике обозначают как гиперкуб. Идея принадлежит не научно-фантастической киновселенной "Марвел", а писательнице Мадлен Л’Энгл, автору книги "Трещина во времени". Вот у нас квадрат, двухмерная фигура. А вот его трехмерный аналог, куб. Последний можно представить как два соединенных вместе квадрата — один сверху, другой сниху. Если куб трехмерен, а квадрат двухмерен, то как выглядит четырехмерная фигура? Полагаю, гиперкуб должен выглядеть как два соединенных вместе куба с удвоенным количеством вершин, то есть шестнадцатью. Теперь соединим каждый угол маленького куба с соответствующим углом большого — вот и гиперкуб. Вы спросите: четыре измерения действительно существуют или это просто вымысел? Знаете, когда занимаешься обычной геометрией, то работаешь в идеально ровной плоскости. Бывает ли такое в реальном мире? Как физический объект — вероятно, нет. Но и двухмерная плоскость, и трехмерное пространство столь же абстрактны, как и четырехмерное.
Если алгебра изучает структуру, то чем занимается геометрия?
Алгебра — это про логику и символы, так? Это одна половина мозга. Геометрия совсем другая: материальная, первичная. А математика в целом извлекает пользу из противоречий между алгебраической и геометрической сторонами нашего мозга.
Верите ли вы, что если длину любой окружности разделить на ее же диаметр, то всегда будет получаться ровно число Пи?
Да, я определенно в это верю. Более того, этот момент вызывает у меня восхищение, потому что именно он делает круги кругами. Круги бывают только одного вида. Они могут быть большими или маленькими, но первые — лишь увеличенная версия последних. Какой бы у маленького ни был диаметр, его окружность будет во столько раз меньше окружности большого круга, во сколько раз будет меньше и его диаметр. То есть соотношение между длиной окружности и диаметром в обоих случаях одинаково, и это постоянное соотношение — число Пи — составляет 3,1415. Неважно, сколько там у него будет знаков после запятой, десять или двадцать. С математической точки зрения важно лишь само существование этого самого Пи, константы, которая применяется ко всем кругам вне зависимости от размера.
Правда ли, что оригинальная игра Тетрис — лучший способ понять трансформационную геометрию?
Я провел кучу времени за этой игрой в студенческие годы и много об этом думал, пытаясь как-то оправдать это занятие с точки зрения продуктивности. Посетив современный урок геометрии, вы поймете, что эта наука не только об углах, кругах и формах, но и о трансформациях. Среди прочего, там обсуждают то, что произойдет, если взять и отзеркалить или повернуть какую-то форму. Вот где на помощь приходит Тетрис. Представьте, как вниз по экрану движется этот маленький блок, а вам нужно очень быстро продумать, как он будет выглядеть в перевернутом виде и какой из вариантов лучше всего подойдет в вашей конкретной ситуации на игровом поле. Так что Тетрис вполне можно считать эффективным, хоть и напряженным способом потренировать этот самый навык мысленного вращения, которому мы пытаемся научить современных школьников.
Чем важная в контексте работы GPS-систем геометрия сферы?
Принцип работы GPS состоит в том, что на определенных позициях располагается группа спутников, которые могут сказать нам, на каком расстоянии от каждого из них вы находитесь, будучи в любой точке Земного шара. И знания этих цифр на самом деле достаточно, чтобы определить ваше точное местоположение. Допустим, я знаю, что стою на расстоянии ровно 5342 км от конкретного спутника. Совокупность всех точек, находящихся от него на точно на таком же расстоянии, представляет собой сферу, центром которой является этот спутник. Вот вам и определение сферы как оно есть: набор всех точек на фиксированном расстоянии от некоего заданного центра. Если надо мной два спутника, то я нахожусь в точке соприкосновения двух сфер. В том случае, если последних четыре и больше, у них никогда не будет более одной общей точки. Вот какая геометрия лежит в основе GPS.
Что геометрия нейросетей глубинного обучения (НГО) может рассказать нам об их внутренних механизмах?
Объясню вам используемую там стратегию. По сути, это чрезвычайно емкая разновидность метода проб и ошибок. Мы вносим некоторые небольшие изменение в собственное поведение и наблюдаем, будет ли положительный результат. Если да, то цикл повторяется. Я смотрю на все это как своего рода способ изучения пространства. Во всех пониманиях геометрия — это любой контекст, в котором мы можем обсуждать нечто близкое и далекое. Мы знаем, каково это — находиться с кем-то в географической близости. Аналогичным образом устроены все стратегии распознавания лиц, там тоже задействована геометрия. Есть близкие друг другу стратегии, есть далекие. Это можно подогнать под любой контекст близкое-далекое, будь то поверхность Земли, соцсеть или ваша семья, где родственники тоже бывают близкими и дальними. Знаю, звучит так, будто я считаю, что геометрия — наше все. Скажу честно: так и есть!
